with短语在一个描述数学概念的句子中作什么成分

在此句末尾处的“with values in Y”我不了解在句中作什么成分。

对此句, 我的翻译如下（两个数学公式不好打出, 下用A和B代表）：

给定集合X与Y， 大家将用符号 A 或 B 来表示一个概念的函数,函数对所有些x∈X，有对应的值在Y中。

我感觉with部分应该修饰and前，to后的function、defined、x中的某个，但我依次对应翻译,

跟function是“函数有值在Y中”；

跟defined是“用值在Y中概念”；

跟x是“所有些x是X并且这类x的值在Y中”，

以上的翻译不知合不合适，只不过感觉都不合适这里的翻译。

由于数学里一般逻辑比较严谨，虽然我能理解内容，但恐漏了细节，若能解惑，不胜感激。

以下是该句的上下文,截取自《Automata，Languages and Machine》中绪论部分，全文非常长，所以只能截取部分。

这是比较基础的问题。X称为概念域，所以,用了后置定语defined来限定名词function。Y称为值域，显然是function在Y的集合中有对应值，所以with是于defined一块由and连接作function的后置定语。